设 $\sed{n_k}$ 是自然数列 $\sed{n}$ 的子序列, 试证:

(1). 当 $n_k-n_{k-1}\geq 1$ 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 收敛;

(2). 当 $n_k-n_{k-1}\leq g$ (常数) 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 发散;

(3). 当 $n_k-n_{k-1}\geq k^r\ (r>0)$ 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 收敛.

证明:

(1). 由 $$\bex n_k\geq n_{k-1}+k\geq n_{k-2}+(k-1)+k\geq \cdots \geq 1+2+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2} \eex$$ 知 $$\bex \vsm{k}\frac{1}{n_k} \leq 2\vsm{k}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{2}. \eex$$

(2). 由 $$\bex n_k\leq n_{k-1}+g\leq \cdots \leq n_1+(n-1)g \eex$$ 知 $$\bex \vsm{k}\frac{1}{n_k}\geq \vsm{k}\frac{1}{n_1+(n-1)g}=+\infty. \eex$$

(3). 由 $$\beex \bea n^r&\geq 1^r+2^r+\cdots +k^r\geq 1+\sum_{i=2}^k \int_{i-1}^i i^r\rd x \geq 1+ \sum_{i=2}^k \int_{i-1}^i x^r\rd r\\ & =1+\sum_{i=2}^k \frac{i^{r+1}-(i-1)^{r+1}}{r+1} =1+\frac{k^{r+1}+1}{r+1} \eea \eeex$$ 知 $$\bex \vsm{k}\frac{1}{n_k} \leq \vsm{k}\frac{1}{1+\frac{k^{r+1}-1}{r+1}} <\infty. \eex$$